Question

如圖，二次函數過A（0，m）、B（-3，0）、C（12，0），過A點作x軸的平行線交拋物線于一點D，線段OC上有一動點P，連接DP，作PE⊥DP，交y軸于點E。

（1）求AD的長；
（2）若在線段OC上存在不同的兩點P₁、P₂，使相應的點E₁、E₂都與點A重合，試求m的取值范圍；
（3）設拋物線的頂點為點Q，當60°≤∠BQC≤90°時，求m的變化范圍。

Answer 1

解：（1）∵B（-3，0）、C（12，0）是關于拋物線對稱軸對稱的兩點，AD∥x軸， ∴A、D也是關于拋物線對稱軸對稱的兩點， ∵A（0，m），∴D（9，m），∴AD=9；
（2）∵PE⊥DP， ∴要使線段OC上存在不同的兩點P1、P2，使相應的點E1、E2都與點A重合，也就是使以AD為直徑的圓與BC有兩個交點，即圓的半徑r>|m|， ∵r=，∴|m|<， 又∵m>0，∴0<m<；
（3）設拋物線的方程為：y=a（x+3）（x-12）， 又∵拋物線過點A（0，m）， ∴m=-36a，∴a=-m ∴y=-m（x+3）（x-12）=-m（x-）2+m ∵tan∠BQM=，QM=m 又∵60°≤∠BQC≤90° ∴由拋物線性質得30°≤∠BQM≤45° ∴當∠BQM=30°時，可求出m=， 當∠BQM=45°時，可求出m=， ∴m的取值范圍為≤m≤。