Question

如圖，二次函數過A（0，m）、B（-3，0）、C（12，0），過A點作x軸的平行線交拋物線于一點D，線段OC上有一動點P，連接DP，作PE⊥DP，交y軸于點E．
（1）求AD的長；
（2）若在線段OC上存在不同的兩點P₁、P₂，使相應的點E₁、E₂都與點A重合，試求m的取值范圍；
（3）設拋物線的頂點為點Q，當60°≤∠BQC≤90°時，求m的變化范圍．

Answer 1

解：（1）∵B（-3，0）、C（12，0）是關于拋物線對稱軸對稱的兩點，AD∥x軸，∴A、D也是關于拋物線對稱軸對稱的兩點．
∵A（0，m），
∴D（9，m），
∴AD=9；

（2）∵PE⊥DP，
∴要使線段OC上存在不同的兩點P₁、P₂，
使相應的點E₁、E₂都與點A重合，也就是使以AD為直徑的圓與BC有兩個交點，
即r＞|m|．
∵，
∴．
又∵m＞0，
∴；

（3）設拋物線的方程為：y=a（x+3）（x-12），
又∵拋物線過點A（0，m），
∴m=-36a，
∴，
∴，
∵，，
又∵60°≤∠BQC≤90°，
∴由拋物線的性質得：30°≤∠BQM≤45°，
∴當∠BQM=30°時，可求出，
當∠BQM=45°時，可求出，
∴m的取值范圍為．
答：m的取值范圍為．
分析：（1）根據二次函數的對稱性可以得出答案；
（2）利用圓的相關知識可以知道：直徑所對應的圓上的角為90°，所以由在線段OC上存在不同的兩點P₁、P₂，使相應的點E₁、E₂都與點A重合可知：以AD為直徑的圓與BC有兩個交點．
（3）解出當∠BQC=60°、∠BQC=90°時m的值，以這兩個值為邊界便可以確定出m的取值范圍．
點評：本題屬于綜合類問題，主要考查了二次函數圖象的相關知識．