Question

【題目】如圖，矩形ABCD（AB＞AD）中，點M是邊DC上的一點，點P是射線CB上的動點，連接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．

（1）若∠APC＝76°，則∠DAM＝　 　；

（2）猜想∠APC與∠DAM的數量關系為　 　，并進行證明；

（3）如圖1，若點M為DC的中點，求證：2AD＝BP+AP；

（4）如圖2，當∠AMP＝∠APM時，若CP＝15，＝時，則線段MC的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）38°；（2）∠APC＝2∠DAM，證明見解析；（3）見解析；（4）3．

【解析】

（1）由AD∥CP，∠APC=76°知∠DAP=104°，根據∠DAP=2∠AMD得∠AMD=52°，結合∠D=90°可得；

（2）由AD∥CP知∠DAP+∠APC=180°，結合∠DAP=2∠AMD得2∠AMD+∠APC=180°，再結合∠D=90°知∠AMD=90°﹣∠DAM，即2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，據此可得；

（3）延長AM交BC的延長線于點E，延長BP到F，使PF=AP，連接AF，證△AMD≌△EMC得AD=CE，據此知BE=BC+CE=2AD，再證∠E=∠F得AE=AF，由AB⊥BE知BE=BF，從而由BF=BP+PF=BP+AP可得；

（4）延長MD到點E，使DE=MD，連接AE，作EF⊥MA，設AM=3x，則AD=2x，DM=DEx，AE=AP=3x，證△ADM∽△EFM得，求得EFx，AFx，再證△EAF≌△APB得PB=AFx，再由AD=BC得x+15=2x，求得x的值，從而得出AB的長，根據MC=DC﹣DM=AB﹣DM可得答案．

（1）∵AD∥CP，∠APC=76°，

∴∠DAP=104°．

∵∠DAP=2∠AMD，

∴∠AMD=52°，

又∵∠D=90°，

∴∠DAM=38°．

故答案為：38°；

（2）∠APC=2∠DAM．理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AD∥BC．

∵點P是射線CB上的點，

∴AD∥CP，

∴∠DAP+∠APC=180°．

∵∠DAP=2∠AMD，

∴2∠AMD+∠APC=180°，

在Rt△AMD中，∠D=90°，

∴∠AMD=90°﹣∠DAM，

∴2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，

∴∠APC=2∠DAM．

故答案為：∠APC=2∠DAM；

（3）如圖1，延長AM交BC的延長線于點E，延長BP到F，使PF=AP，連接AF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，

∴AD∥BE，AB⊥BE，

∴∠DAM=∠E．

∵M是DC中點，

∴DM=CM，

又∵∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMC(AAS)，

∴AD=CE，

∴BE=BC+CE=2AD．

∵∠APC=2∠DAM，

∴∠APC=2∠E．

∵PA=PF，

∴∠PAF=∠F，

∴∠APC=2∠F，

∴∠E=∠F，

∴AE=AF，

又∵AB⊥BE，

∴BE=BF，

又∵BF=BP+PF=BP+AP，

∴2AD=BP+AP；

（4）如圖2，延長MD到點E，使DE=MD，連接AE，過點E作EF⊥MA于點F，

設AM=3x，則AD=2x，DM=DEx，AE=AP=3x．

∵∠AMD=∠EMF，∠ADM=∠EFM=90°，

∴△ADM∽△EFM，

∴，即，

解得：EFx，

∴AFx．

∵DE=MD，AD⊥CE，

∴∠AME=∠AEM，

則∠EAF=2∠AMD．

∵AD∥BC，∠DAP=2∠AMD，

∴∠APB=∠DAP=2∠AMD，

∴∠EAF=∠APB，

又∵∠EFA=∠B=90°，AE=AP，

∴△EAF≌△APB(AAS)，

∴PB=AFx，

由AD=BC得x+15=2x，

解得：x=9，

∴AB12，

∴MC=DC﹣DM=AB﹣DM==3．

故答案為：3．