Question

如圖，A（-5，0），B（-3，0），點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．點P從點Q（4，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時時間t秒．
（1）求點C的坐標；
（2）當∠BCP=15°時，求t的值；
（3）以點P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC為直角，得到△BOC為等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性質知OC=OB=3，然后由點C在y軸的正半軸可以確定點C的坐標；
（2）需要對點P的位置進行分類討論：①當點P在點B右側時，如圖2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO為30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運動的總路程，由速度為1個單位/秒，即可求出此時的時間t；②當點P在點B左側時，如圖3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO為60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運動的總路程，由速度為1個單位/秒，即可求出此時的時間t；
（3）當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，分三種情況考慮：
①當⊙P與BC邊相切時，利用切線的性質得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此時△COP為等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P運動的路程，即可得出此時的時間t；
②當⊙P與CD相切于點C時，P與O重合，可得出P運動的路程為OQ的長，求出此時的時間t；
③當⊙P與CD相切時，利用切線的性質得到∠DAO=90°，得到此時A為切點，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到此時的時間t．
綜上，得到所有滿足題意的時間t的值．
解答：解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵點C在y軸的正半軸上，
∴點C的坐標為（0，3）；

（2）分兩種情況考慮：
①當點P在點B右側時，如圖2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此時t=4+；
②當點P在點B左側時，如圖3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此時，t=4+3，
∴t的值為4+或4+3；

（3）由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時，有以下三種情況：
①當⊙P與BC相切于點C時，有∠BCP=90°，

從而∠OCP=45°，得到OP=3，此時t=1；
②當⊙P與CD相切于點C時，有PC⊥CD，即點P與點O重合，此時t=4；

③當⊙P與AD相切時，由題意，得∠DAO=90°，

∴點A為切點，如圖4，PC²=PA²=（9-t）²，PO²=（t-4）²，
于是（9-t）²=（t-4）²+3²，即81-18t+t²=t²-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值為1或4或5.6．
點評：此題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，利用了數形結合及分類討論的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．