Question

如圖AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，AD只要證明OD⊥DE即可．此題可運用三角形的中位線定理證OD∥AC，因為DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）連接AD，從而得到∠ADB=90°，根據已知條件可得出∠ODB=30°，∠ADO=60°，則△OAD為等邊三角形，利用勾股定理即可求得AD的長，從而得出OA．

解答：（1）證明：連接OD．
因為D是BC的中點，O是AB的中點，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE．           
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．      
∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，
∴DE是⊙O的切線．  

（2）證明：連接AD，
∵OD∥AC，∴∠C=∠ODB=30°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵CD=

3

，
∴∠ADO=60°，AD=1，
∴AD=OD=OA=1．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證它們垂直即可解決問題．