Question

【題目】如圖，為的直徑，為上一點，經過點的切線交的延長線于點，交的延長線于點，交于，于，分別交、于、，連接，．

（1）求證：平分；

（2）若，，①求的半徑；②求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①4；②

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得OC⊥DE，則判斷OC∥AD得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠2；

（2）①利用圓周角定理和垂徑定理得到，∠M＝∠COE，設⊙O的半徑為r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定義得到，從而解方程求出r即可；

②連接BF，如圖，先在Rt△AFB中利用余弦定義計算出AF＝，再計算出CE＝3，接著證明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可計算出FN的長．

（1）證明：連接，如圖，

∵直線與相切于點，

∴，

又∵，

∴．

∴

∵，

∴，

∴，

∴平方；

（2）①∵為直徑，

∴，

而，

∴，

∴，

∴，

∴，

而，

∴，

設的半徑為，

在中，，即，解得，

即的半徑為4；

②連接，如圖，

在中，，

∴

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．