Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=10cm，CD=4cm，點P從點A出發，以1.5cm/秒的速度沿AB向終點B運動；點Q從點C出發，以1cm/秒的速度沿CD向終點D運動（P、Q兩點中，有一個點運動到終點時，所有運動即終止），設P、Q同時出發并運動了t秒：
（1）當點Q運動到點D時，PQ把梯形分成兩個特殊圖形是

平行四邊形

、

等腰三角形

；
（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E，當四邊形DEPQ是矩形時，求t的值；
（3）探索：是否存在這樣的t值，使四邊形PBCQ的面積是四邊形APQD面積的2倍？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出t，求出AP、BP，根據平行四邊形的判定推出即可，得出AD=DP=BC，根據等腰三角形的定義判斷即可；
（2）求出AE，QD，EP，根據DQ=EP得出4-t=1.5t-3，求出即可；
（3）分別求出兩個梯形的面積，根據題意得出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）平行四邊形、等腰三角形，
理由是：∵當Q到D時，t=4÷1=4，
則AP=1.5×4=6，
∴BP=AB-AP=10-6=4，
∴BP=CD，
∵DC∥AB，
∴四邊形CDPB是平行四邊形，
∴DP=BC=AD，
∴△DPA是等腰三角形，
故答案為：平行四邊形，等腰三角形．

（2）過C作CF⊥AB于F，
則四邊形DCFE是矩形，
DC=EF=4，DE=CF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，BF²=BC²-CF²，
∵AD=BC，
∴AE=BF=

1

2

×（10-4）=3，
當DEPQ是矩形時，DQ=EP，
∴4-t=1.5t-3，
解得t=

14

5

（秒）；

（3）存在，
理由是：設梯形ABCD的高為h，Q不與D重合（Q與D重合不符題意），
則四邊形PBCQ和APQD都是梯形，
S_梯形PBCQ=

(t+10-1.5t)h

2

=

1

2

h(10-0.5t)，
S_梯形APQD=

(4-t+1.5t)h

2

=

1

2

h(4+0.5t)，
∴10-0.5t=2（4+0.5t），
解得t=

4

3

（秒），
∴存在t，t=

4

3

秒．

點評：本題考查了等腰梯形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．