Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=x₁+x₂-x₁x₂+1，求函數(shù)y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△的意義由方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂得到△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解不等式即可得到k的取值范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，則y=x₁+x₂-x₁x₂+1=2（k-1）-k²+1=-（k-1）²，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)軸為直線k=1，當(dāng)k＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k=時(shí)，y的值最大，然后把k=代入計(jì)算即可．
解答：解：（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
∴△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤，
即k的取值范圍為k≤；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
y=x₁+x₂-x₁x₂+1
=2（k-1）-k²+1
=-（k-1）²，
∵當(dāng)k＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)k=時(shí)，y的值最大，
即k=，y的最大值=-（-1）²=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)．