Question

在平面直角坐標系xOy中，OEFG為正方形，點F的坐標為（1，1）．將一個最短邊長大于

2

的直角三角形紙片的直角頂點放在對角線FO上．
（1）如圖，當三角形紙片的直角頂點與點F重合，一條直角邊落在直線FO上時，這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為

 

；
（2）若三角形紙片的直角頂點不與點O，F(xiàn)重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交，當這個三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時，試確定三角形紙片直角頂點的坐標（不要求寫出求解過程），并畫出此時的圖形．

Answer 1

分析：（1）S=

1

2

OE•EF=

1

2

；
（2）如圖，正方形GFEO的面積為1，當重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時，有兩種情況：
①四邊形OSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDO為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形OSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有OD=OA=

2

2

即點C的坐標為（

2

2

，

2

2

）．
②四邊形FSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDF為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形FSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有AD=FA=

2

2

即點C的坐標為（1-

2

2

，1-

2

2

）．

解答：解：（1）S=

1

2

OE•EF=

1

2

；

（2）如圖，正方形GFEO的面積為1，當重合的面積為正方形GFEO的面積的一半時，有兩種情況：
①四邊形OSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACOD為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形OSCB的面積與正方形ACOD的面積相等，故有OD=OA=

2

2

即點C的坐標為（

2

2

，

2

2

）．
②四邊形FSCB的面積為

1

2

時，易證得四邊形ACDF為正方形，△ABC≌△DSC，有四邊形FSCB的面積與正方形ACDO的面積相等，故有FD=FA=

2

2

即點C的坐標為（1-

2

2

，1-

2

2

）．

點評：本題利用了正方形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式求解．