Question

如圖①，將一個內角為120°的菱形紙片沿較長對角線剪開，得到圖②的兩張全等的三角形紙片，將這兩張三角形紙片擺放成圖③的形式，點B、F、C、D在同一條直線上，AB分別交DE、EF于點P、M，AC交DE于點N．
（1）找出圖③中的一對全等三角形（△ABC與△DEF全等除外），并加以證明；
（2）當P為AB的中點時，求△APN與△DCN的面積比．

Answer 1

解：（1）答案不唯一，如：△APN≌△EPM．
證明：由菱形性質得∠A=∠B=∠D=∠E，
∴PB=PD．
∵AB=DE，
∴PA=PE．
∵∠EPM=∠APN，
∴△APN≌△EPM．

（2）連接CP．
∵CA=CB，P為AB中點，
∴CP⊥AB．
∵∠ACB=∠DFE=120°，AC=BC=DF=FE，
∴∠D=∠A=∠B=30°．
∴∠APN=60°．
∴∠CNP=90°，∠CPN=30°．
∴PN：CN=：1．
∵∠D=∠A，∠ANP=∠DNC，
∴△ANP∽△DNC．
∴S_△ANP：S_△DNC=PN²：CN²=3：1．
即△APN與△DCN的面積比為3：1．
分析：（1）我們可以利用菱形的性質及全等三角形的判定方法AAS判定△APN≌△EPM．
（2）要求△APN與△DCN的面積比，我們可以根據菱形的性質及已知，得到PN：CN=，根據相似三角形的判定，得到△ANP∽△DNC，即△APN與△DCN的面積比為3：1．
點評：此題考查了學生對全等三角形的判定，菱形的性質及相似三角形的判定等知識點的掌握情況．