Question

（2004•海淀區）已知：關于x的一元二次方程ax²+2ax+c=0的兩個實數根之差的平方為m．
（1）試分別判斷當a=1，c=-3與a=2，c=時，m≥4是否成立，并說明理由；
（2）若對于任意一個非零的實數a，m≥4總成立，求實數c及m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a、c的值分別代入ax²+2ax+c=0，①求出方程的根以及兩個實數根之差的平方，判斷m的值；②根據根與系數的關系求出m的值的取值范圍．
（2）先根據一元二次方程的根與系數的關系，表述出兩根的和與兩根的差，即可用a，c表示出m的值，依據對于任意一個非零的實數a，m≥4總成立，即可確定c和m的值．
解答：解：（1）當a=1，c=-3時，m≥4成立；
當a=2，c=時，m≥4不成立；
當a=1，c=-3時，原方程為x²+2x-3=0，則x₁=1，x₂=-3，
∴m=[1-（-3）]²=16＞4，
即m≥4成立．
當a=2，c=時，原方程為2x²+4x+=0．
由△=4²-4×2×＞0，可設方程的兩個根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
∴m=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-2＜4，
即m≥4不成立．
（2）依題意，設原方程的兩個實數根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
可得m=（x₁-x₂）²=4-．
∵對于任意一個非零的實數a都有4-≥4，
∴c=0．
當c=0時，△=4a²＞0，
答：c=0，m=4．
點評：此題具有一定的開放性，結合根的判別式與根與系數的關系，考查了同學們利用不等關系推理特殊值的能力．