Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k使得≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知一元二次方程的根的情況，得到根的判別式△≥0，據(jù)此列出關于k的不等式[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；
（2）假設存在實數(shù)k使得≥0成立．利用根與系數(shù)的關系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式轉(zhuǎn)化為含有兩根之和、兩根之積的形式≥0，通過解不等式可以求得k的值．
解答：解：（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，
∴4k²+4k+1-4k²-8k≥0
∴1-4k≥0，
∴k≤．
∴當k≤時，原方程有兩個實數(shù)根．                     

（2）假設存在實數(shù)k使得≥0成立．
∵x₁，x₂是原方程的兩根，
∴．                  
由≥0，
得≥0．                                 
∴3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得：-（k-1）²≥0，
∴只有當k=1時，上式才能成立．                      
又∵由（1）知k≤，
∴不存在實數(shù)k使得≥0成立．
點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關系．