Question

20．如圖，E是四邊形ABCD的邊AB上一點．

（1）猜想論證：如圖?，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想圖中哪兩個三角形相似，并說明理由．
（2）觀察作圖：如圖?，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖?中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點E（點E與點A，B 不重合），分別連結ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個三角形相似（不證明）．
（3）拓展探究：如圖?，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，請直接寫出$\frac{BC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內角和定理及鄰補角定義得到一對角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（2）如圖②a與圖②b所示，點E為所求的點；
（3）由點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，利用相似三角形對應角相等得到三個角相等，再由折疊的性質得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數定義求出所求式子比值即可．

解答 解：（1）△ADE∽△BEC，理由為：
∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠DEA=115°，
∵∠DEC=65°，
∴∠BEC+∠DEA=115°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）作圖如下：

（3）∵點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，
∴DC=CE=AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{EC}$=cos30°，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及折疊的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．