Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P的坐標為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉45°，將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數）
（1）求點P₆的坐標；
（2）求△P₅OP₆的面積；
（3）我們規定：把點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標x_n、縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標（|x_n|，|y_n|）稱之為點P_n的“絕對坐標”．根據圖中點P_n的分布規律，請你猜想點P_n的“絕對坐標”，并寫出來．

Answer 1

【答案】分析：（1）OP₆旋轉了6×45°=270°，得到點P₆落在y軸的負半軸，而點P_n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標為P₆（0，-2⁶）；
（2）根據兩組對應邊的比相等，且它們的夾角也相等，則這兩個三角形相似得到△POP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．然后求出S_△P0OP1=×1×=，再求出，利用相似三角形面積的比等于它們的相似比即可得到△P₅OP₆的面積；
（3）分類討論：令旋轉次數為n，①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為（×2ⁿ，×2ⁿ）；③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點P_n落在y軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）．
解答：解：
（1）根據旋轉規律，點P₆落在y軸的負半軸，而點P_n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標為P₆（0，-2⁶），即P₆（0，-64）；

（2）由已知可得，△POP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．
設P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=，
∴=×1×=，
又∵，
∴，
∴；

（3）由題意知，OP旋轉8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點P_n分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數，因此，點P_n的坐標可分三類情況：令旋轉次數為n，
①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為（×2ⁿ，×2ⁿ），即（2^n-1，2^n-1）；
③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點P_n落在y軸上，
此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了三角形相似的判定與性質以及各象限和坐標軸上的點的坐標特點．