Question

（2012•蘭州）如圖，已知⊙O是以坐標原點O為圓心，1為半徑的圓，∠AOB=45°，點P在x軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，設P（x，0），則x的取值范圍是

-

2

≤x≤

2

且x≠0

．

Answer 1

分析：由題意得x有兩個極值點，過點P與⊙O相切時，x取得極值，作出切線，利用切線的性質求解即可．

解答：解：將OA平移至P'D的位置，使P'D與圓相切，
連接OD，由題意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，
故可得OP'=

2

，即x的極大值為

2

，
同理當點P在y軸左邊時也有一個極值點，此時x取得極小值，x=-

2

，
綜上可得x的范圍為：-

2

≤x≤

2

．
又∵DP'與OA平行，
∴x≠0，
故答案為：-

2

≤x≤

2

且x≠0．

點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系，分別得出兩圓與圓相切時求出OP的長是解決問題的關鍵，難度一般，注意兩個極值點的尋找．