Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，點E在邊BA的延長線上，AE=2，點F在BC邊上，EF與邊AD相交于點G，DF⊥EF，設AG=x，DF=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）當AD=11時，求AG的長；
（3）如果半徑為EG的⊙E與半徑為FD的⊙F相切，求這兩個圓的半徑．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAG=∠B=90°，
∴EG==，
∵=，
∴FG===，
∵∠DFG=∠EAG=90°，∠EGA=∠DGF，△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴y關于x的函數解析式為y=，定義域為0＜x≤4．

（2）∵△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴GD=．
當AD=11時，x+=11，x₁=1，x₂=，
經檢驗它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長為1或．

（3）當⊙E與⊙F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，
∴FD=FG，
∵△DFG∽△EAG，
∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．
∴AG=AE=2；
∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．
當⊙E與⊙F內切時，EF=FD-EG，
∴3=-，
∵≠0，
∴3=，
∴x=1，
∴⊙E的半徑EG==，⊙F的半徑FD=，
∴⊙E的半徑為2，⊙F的半徑為4；或⊙E的半徑為，⊙F的半徑為4．
分析：（1）先根據AD∥BC，∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°，在Rt△AEG中根據勾股定理可用x表示出EG的值，再根據平行線分線段成比例可得出=，進而可得到關于x、y的關系式，由二次根式有意義的條件求出x的取值范圍即可；
（2）由△DFG∽△EAG可得到=，可用x表示出GD的值，再把AD=11代入即可求出x的值，進而得出AG的長；
（3）①當⊙E與⊙F外切時，EF=EG+FD=EG+FG，再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2，進而可得出⊙E與⊙F的半徑；
②當⊙E與⊙F內切時，EF=FD-EG，再把EF、FD及ED的關系式代入即可求出x的值，由勾股定理即可求出兩圓的半徑．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質、勾股定理及兩圓相切的性質，涉及面較廣，難度較大，在解（3）時要注意分兩圓外切與內切兩種情況進行討論．