Question

若a^x=b^y=1994^z（其中a，b是自然數），且有

1

x

+

1

y

=

1

z

，則2a+b的一切可能的取值是（　　）

• A、1001
• B、1001，3989
• C、1001，1996
• D、1001，1996，3989

Answer 1

分析：先設a^x=b^y=1994^z=k，再用k的冪次方來表示a、b，從而表示ab的積，再結合

1

x

+

1

y

=

1

z

，以及1994^z=k，可求ab=1994，而1994只能分成2×997，a、b又是自然數，可求出a、b的值，再代入2a+b中，即可求值．

解答：解：設a^x=b^y=1994^z=k（k≠1），
∵a^x=b^y=1994^z=k，
∴k

1

x

=a，k

1

y

=b，
∴k

1

x

×k

1

y

=ab，
∴k

1

x

+

1

y

=ab，
又∵

1

x

+

1

y

=

1

z

，k=1994^z，
∴k

1

z

=ab，
∴(1994z)

1

z

=ab，
∴ab=1994，
又∵1994=2×997，ab是自然數，
∴a=2，b=997或a=997，b=2，
∴2a+b=2×2+997=1001，
或2a+b=2×997+2=1996．
ab=1994，
2a+b=2×1994+1=3988+1=3989．
故選C．

點評：本題利用了乘方的逆運算開方運算以及冪的乘方、同底數冪的乘法．