Question

正方形ABCD的邊長為6，⊙O過B、C兩點，⊙O的半徑為，那么AO的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意畫出圖形，由于⊙O的圓心在正方形ABC的內部與外部不能確定，故應分兩種情況討論：
①當⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，連接OB，過O作OG⊥AD于點G，交BC于點F，由垂徑定理可知OF是BC的垂直平分線，再根據勾股定理求出OF的長；然后根據勾股定理在Rt△OAG中求得OA的長即可；
②當⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，連接OB，過O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，由垂徑定理可知OF垂直平分BC，進而可得出BF的長，由勾股定理可求出OF的長，由銳角三角函數的定義即可得出tan∠BAO的值．
解答：解：①當⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，如圖1所示：
連接OB，過O作OG⊥AD于點G，交BC于點F，
∵AD∥BC，OG⊥BC，
∴OF是BC的垂直平分線，
∵BC=6，
∴BF=AG=3，
∵OB=，
∴OF==1，
∴OG=OF+GF=7，
在Rt△OAG中，
OA==；

②當⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時，如圖2所示：
連接OB，過O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，
∴四邊形OEBF是矩形；
∵BC=6，
∴BF=BC=×6=3（垂徑定理）；
∴OE=BF=3，OF=BE，
在Rt△OBF中，OF==1，
∴BE=1，AE=AB-BE=6-1=5，
在Rt△OAE中，
OA==；
故答案為：或．
點評：本題考查的是垂徑定理、正方形的性質、勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．