Question

梯形ABCD中，AD∥BC，P，M，N分別為AD，AB，CD上的點，且PM∥BD，PN∥AC，
（1）求證：；
（2）若AC⊥BD，AC=BD=12，設PN=x，△PMN的面積為y，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）中，當x取什么值時，△PMN的面積最大？并指出此時P點在線段AD上什么位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）PM∥BD，PN∥AC，△AMP∽△ABD，△DPN∽△DAC，得=①；=②，①+②化簡即可得證；
（2）根據題給條件證明∠MPN為直角，然后利用（1）中的結論求出PM的長，繼而利用三角形的面積公式求解即可；
（3）根據（2）中得出的y與x的函數關系式求出最值．
解答：解：（1）∵PM∥BD，PN∥AC，
∴△AMP∽△ABD，得=  ①
同理可得△DPN∽△DAC，=  ②
①+②得：
得+=+==1
即：；

（2）∵PM∥BD，PN∥AC，AC⊥BD，
∴∠MPN為直角，
∵AC=BD=12，PN=x，，
∴PM=12-x，
∴△PMN的面積y=×x（12-x）=-x²+6x；

（3）由（2）知：y=-（x-6）²+18，
當x=6時，y_max=18，此時點P為線段AD的中點．
點評：本題考查梯形的知識，同時涉及了二次函數的最值、三角形的面積、三角形中位線定理和平行線分線段成比例的知識，是一道綜合題，但難度不是很大．