Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE分別交BD、BC于點(diǎn)G、E，連接DE．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）若ED⊥DC，∠ABC=60°，AB=2，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB=AD及AE為∠BAD的平分線可得出BG=DG，從而證得△ADG≌△EGB，這樣就得出四邊形ABED為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC于點(diǎn)F，根據(jù)四邊形ABED是菱形，∠ABC=60°結(jié)合題意可得出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用解直角三角形的知識(shí)可得出DF的長(zhǎng)度，也就得出了答案．

解答：解：（1）∵AB=AD，AE為∠BAD的平分線，
∴BG=DG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠GBE，∠DAG=∠GEB，
∴△ADG≌△EGB，
∴AG=GE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABED是菱形；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC于點(diǎn)F，
∵四邊形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=∠ABC=60°，AD=BE=DE=AB=2．
∵ED⊥DC，
∴∠C=30°
∴EC=4，
∴BC=6，
在Rt△DEF中，∠DEF=60°，DE=2，
∴DF=

3

，（5分）
∴梯形ABCD的面積=

(2+6) 3

2

=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形及菱形的判定以及菱形的性質(zhì)，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理及菱形的性質(zhì)．