Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，有一內角為60°，M為CD邊上的中點，P為對角線AC上的動點，則PD+PM的最小值為________．

Answer 1

3
分析：由于菱形ABCD的一內角為60°，可假設∠DCB=∠DAB=60°，則∠ADC=∠ABC=120°，連接BD、BM由菱形的性質可知，AC是BD的垂直平分線，即點B是點D關于直線AC的對稱點，故BM即為PD+PM的最小值，再由等邊三角形的判定定理可得出△BDC是等邊三角形，由等邊三角形的性質即可求出BM的長．
解答：解：∵菱形ABCD的一內角為60°，
∴設∠DCB=∠DAB=60°，則∠ADC=∠ABC=120°，
連接BD、BM，則AC是BD的垂直平分線，即點B是點D關于直線AC的對稱點，
∴BM即為PD+PM的最小值，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵M為CD邊上的中點，
∴BM⊥DC，
∵DC=BC=6，
∴CM=DC=×6=3，
在Rt△BMC中，BM===3．
故答案為：3．
點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．