Question

如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，點P從點C出發沿CA邊以1cm/s的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發沿AB以1cm/s的速度向點B勻速運動，點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．伴隨著P、Q運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線BC（或AB或CA）于點E．設P、Q運動的時間是t秒（0＜t＜10）．
（1）當t=2s時，求AP的長．
（2）設△APQ的面積為S（cm²），圖中，當點P從C向A運功的過程中，求S與t的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻t，使△APQ的面積是△ABC面積的？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）當點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=2時，CP=2，則AP=4；
（2）作QF⊥AC于點F，則△AQF∽△ABC，得出=，又AQ=CP=t，則AP=6-t，則得出S與t的函數關系式即可；
（3）根據△ABC面積的=24×=2，再利用S=-t²+t=2，求出即可；
（4）①當DE∥QB時，則四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得=，即求得t，
②當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得=，解得t．
解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2cm，
∵AC=6cm，∴AP=4cm；

（2）如圖1，作QF⊥AC于點F．
∴△AQF∽△ABC，
∴=，
又∵AQ=CP=t，∴AP=6-t，BC==8（cm），
∴=，
∴QF=t，
∴S=（6-t）•t，
即S=-t²+t；

（3）∵△ABC面積為：×AC×BC=×6×8=24，
∴△ABC面積的=24×=2，
∴S=-t²+t=2，
整理得出：t ²-6t+5=0，
解得：t₁=1，t₂=5，
即當t=1或5秒時，使△APQ的面積是△ABC面積的；

（4）能．
①如圖2，當DE∥QB時．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，
得=，
∴=，
解得t=；
②如圖3，當PQ∥BC時，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得=，
即=．
解得t=．
綜上，可知當t=或時，四邊形QBED能成為直角梯形．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理和三角形面積求法等知識，是中考壓軸題，注意分類討論思想的應用．