Question

（1）如圖（1），尺規作△ABC的兩內角∠A、∠B的角平分線，設交點為O，點O在∠C的角平分線上嗎？試說明你的猜想．你有什么發現？
（2）如圖（2），尺規作△ABC的兩內角∠A、∠B的外角平分線，設交點為O，點O在∠C的角平分線上嗎？試說明你的猜想．你有什么發現？
（3）你能用你的發現解決下面的實際問題：如圖（3）直線l₁、l₂、l₃表示三條互相交叉的公路，現要建一個加油站，要使它到三條公路的距離相等，畫出符合要求的點的位置，共有幾個？

Answer 1

分析：（1）（2）根據角平分線的作法作出圖形，再根據角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在角的平分線上證出點O在∠C的角平分線上；
（3）分別作出三角形內角的平分線，再做出三角形外角的平分線，角平分線的交點即為所求．

解答：解：（1）如圖（1）所示：
，
點O在∠C的角平分線上，
過O作OD⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，
∵O在∠BAC的平分線上，
∴FO=EO，
∵O在∠ABC的平分線上，
∴EO=DO，
∴FO=DO，
∴O也在∠C的平分線上；

（2）如圖（2）所示：
，
證法同（1）；

（3）如圖（3）所示：
，
符合要求的點的位置共有4處．

點評：此題主要考查了作角平分線的交點，關鍵是掌握角平分線的性質．