精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學 > 題目詳情

如圖，拋物線 $數(shù)學公式$ 的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點我，已知B點坐標（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心P位置，并求圓心P坐標；
（3）若D是拋物線上一動點，是否存在點D，使以P、B、C、D為頂點的四邊形是梯形？如果存在，請直接寫出滿足條件的點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

解：（1）將點B（4，1）的坐標代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=- $\text{[math]}$ ，
故拋物線的解析式為y=- $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ x+2．

（2）∵拋物線的解析式為y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2，
∴點C的坐標為（0，2），點A的坐標為（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的外接圓的圓心P位置在斜邊AB的中點處，
∴點P的坐標為（ $\text{[math]}$ ，0）．

（3）存在點D的坐標．
①若BC為梯形的底邊，過點P作BC的平行線，交拋物線于點D，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
將點B、點C的坐標代入可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直線BC的解析式為y=- $\text{[math]}$ +2，
故可設直線PD的解析式為y=- $\text{[math]}$ x+c，
將點P的坐標（ $\text{[math]}$ ，0）代入可得：- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +c=0，
解得：c= $\text{[math]}$ ，
故直線PD的解析式為y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
聯(lián)立拋物線與直線PD的解析式： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
即點D的坐標為（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
②若BC為梯形的對角線，過點C作CD∥BP，交拋物線于點D，
此時點D的縱坐標為2，將y=2代入拋物線解析式可得點D的坐標為（3，2）．
綜上可得點D的坐標為：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（3，2）．
分析：（1）將點B的坐標代入可求出a的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分別求出AC、AB、BC的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形，從而確定△ABC的外接圓圓心在斜邊的中點；
（3）分兩種情況討論，①BC為梯形的底邊，②BC為梯形的對角線，分別求出點D的坐標即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的外接圓圓心及直線與拋物線的交點，涉及的知識點較多，對于此類綜合性較強的題目，要求同學們熟練掌握各知識點，并能將所學知識點融會貫通．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax²+2ax-b與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于C點，且A（-4，0），OC=2OB．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）如圖①，作矩形ABDE，使DE過點C，點P是AB邊上的一動點，連接PE，作PF⊥PE交BD于點F．設線段PB的長為x，線段BF的長為

y．當P點運動時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍，在同一直角坐標系中，該函數(shù)的圖象與圖①的拋物線中y≥0的部分有何關(guān)系？
（3）如圖②，在圖①的拋物線中，點H為其頂點，G為拋物線上一動點（不與H重合），取點N（-1，0），作MN⊥GN且MN=

GN（點M、N、G按逆時針順序），當點G在拋物線上運動時，直線AM、GH是否存在某種位置關(guān)系？若存在，寫出并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．