Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＞DC，若腰DC上有點P，使AP⊥BP，則這樣的點（　　）

A．不存在

B．只有一個

C．只有兩個

D．有無數個

Answer 1

這樣的點有2個．
若∵AP⊥BP，
∴P在以AB為直徑的圓上，令圓心為O．
∵CD切⊙O于點P，
∴OP⊥CD，
∴P是CD上離點O最近的點．
∵AD∥BC、∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴AD切⊙O于點A、BC切⊙O于點B，
∴由切線長定理得：AD=DP、BC=CP，
∴AD+BC=DP+CP=DC．
∴當AD+BC=DC時，⊙O與CD相切．
于是：當AD+BC＞DC時，可理解為將DC由與⊙O相切時的位置向圓心方向平移，這樣，⊙O與DC就相交．
當AD+BC＜DC時，可理解為將DC由與⊙O相切時的位置背圓心方向平移，這樣，⊙O與DC就相離．
∵AD+BC＞DC，
∴有兩個交點．
故選C．