Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，F為垂足．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若BE=AB=2，求線段AD、AB、弧BD圍成的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證DE是⊙O的切線，只要連接OD，求證OD⊥DE即可；
（2）線段AD、AB、弧BD圍成的面積=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD．
解答：解：（1）連接OD，BD；
∵AB=BC（已知），
∴∠A=∠C（等邊對等角）．
∵OA=OD（⊙O的半徑），
∴∠A=∠ADO（等邊對等角），
∴∠C=∠ADO（等量代換），
∴OD∥BC（同位角相等，兩直線平行）．
又∵DF⊥BC，
∴OD⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠ODE=90°．
∵BE=AB=2，
∴OB=BE=2，
∴OD=OB=OE，
∴∠E=30°，
∴∠DOB=60°，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠DBA=60°，
∴S_△ABDAB•BDsin∠ABD=×4×2×=2，S_扇形OBD==，S_△OBD=OB•ODsin∠DOB=×2×2×=，
∴線段AD、AB、弧BD圍成的面積=S_△ABD+S_扇形OBD-S_△OBD=2+-=+．
點評：本題考查了切線的判定與性質、等腰三角形的性質以及扇形面積的計算等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．