Question

如圖，BC是⊙O的直徑，AD=DC，弦AC與BD交于點E，
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知：，，求sin∠AEB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據AD=DC可求出∠ABD=∠DBC，再根據BC是⊙O的直徑可得出∠BAC=∠BDC=90°，進而可求出△ABE∽△DBC；
（2）根據△ABE∽△DBC可知∠AEB=∠BCD，再根據△DBC是直角三角形可求出BD的長，再求出sin∠ACB的值即為sin∠AEB的值．
解答：解：（1）∵AD=DC，∴∠ABD=∠DBC，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，∴∠AEB=∠BCD，
∵∠BDC=90°，BC=，CD=，
∴BD===，
∴sin∠BCD===，
∴sin∠AEB=．
點評：本題涉及到弧、圓周角、弦的關系，相似三角形的判定與性質、銳角三角函數值，涉及面較廣，但難易適中．