Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點A且和BC相切于點D，和AB、AC分別交于點E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長為（　　）

• A、

  1+ 5

  2

  a
• B、

  1+ 3

  2

  a
• C、

  1+ 5

  2

  b
• D、

  1+ 3

  2

  b

Answer 1

分析：如圖，連接DE，由于CB是圓的切線，所以∠BDE=∠BAD，而∠DEF=∠DAC=∠BAD，由此得到∠BDE=∠DEF，接著得到EF∥CB，利用平行線分線段成比例得到AB：AC=AE：AF，而根據AD是△ABC的角平分線可以得到AB：AC=BD：DC，推出AE：AF=BD：DC，已知BD=AE，可推出AF=CD，再利用切割線定理知道CD²=CF•CA，而CA=CF+AF=CF+CD，由此得到關于AF的一元二次方程，解方程即可求出AF的長度．

解答：解：如圖，連接DE，
∵CB是圓的切線，
∴∠BDE=∠BAD，
而∠DEF=∠DAC=∠BAD，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥CB，
∴AB：AC=AE：AF，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴AB：AC=BD：DC，
∴AE：AF=BD：DC，
而BD=AE，
∴AF=CD，
又∵BC相切于點D，
∴CD²=CF•CA，
而CA=CF+AF=CF+CD，
∴AF²=CF（CF+AF），
而CF=b，
∴AF²=b²+AF×b，
∴AF²-AF×b-b²=0，
∴AF=

1+ 5

2

b（負值舍去）．
故選C．

點評：此題比較復雜，把平行線分線段成比例放在圓的背景中，首先利用切線的性質來構造平行線，再利用平行線分線段成比例解決問題．