Question

【題目】閱讀下列兩則材料，回答問題：

材料一：因為所以我們將與稱為一対“有理化因式”，有時我們可以通過構造“有理化因式”求值

例如：已知，求的值

解：，∵

材料二：如圖，點A（x1，y1），點B（x2，y2），所以AB為斜邊作Rt△ABC，則C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝，反之，可將代數式的值看作點（x1，y1）到點（x2，y2）的距離．例如＝，所以可將代數式的值看作點（x，y）到點（1，﹣1）的距離；

（1）利用材料一，解關于x的方程：，其中x≤2；

（2）利用材料二，求代數式的最小值，并求出此時y與x的函數關系式，寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝﹣2；（2）y＝x+5（﹣3≤x≤1）．

【解析】

（1）根據材料一類比計算的值，利用換元法解方程，可得結論；

（2）把根式下的式子轉化成平方+平方的形式，轉化成點到點的距離問題，根據兩點之間距離最短，所以當三個點共線時距離最短，可以求出最小值和函數關系式．

解：（1），

，

；

設，

則，解得：，

∴，

∵x≤2，

解得：x＝﹣2；

（2），

，

，

所以可將看作點（x，y）到點（1，6）的距離；

可將看作點（x，y）到點（﹣3，2）的距離；

∴當代數式取最小值，

即點（x，y）與點（1，6），（﹣3，2）在同一條直線上，并且點（x，y）位于點（1，6）、（﹣3，2）的中間，

∴的最小值=，且﹣3≤x≤1，

設過（x，y），（1，6），（﹣3，2）的直線解析式為：y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴y＝x+5（﹣3≤x≤1）．