Question

已知：一元二次方程．

（1）求證：不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；

（2）設k＜0，當二次函數的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為4時，求此二次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，過y軸上一點M（0，m）作y軸的垂線l，當m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵，

∴關于x的一元二次方程，不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根。

（2）令y=0，則。

∵，

∴，即，

解得k=3或k=﹣1。

∵k＜0，∴k=﹣1。

∴此二次函數的解析式是。

（3）由（2）知，拋物線的解析式是，

易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），

∴AB=4，AC=2，BC=2。

∴AC²+BC²=AB²。

∴△ABC是等腰直角三角形．AB為斜邊。

∴外接圓的直徑為AB=4。∴﹣2≤m≤2。

【解析】（1）根據一元二次方程的根的判別式△=b²﹣4ac的符號來判定已知方程的根的情況。

（2）利用根與系數的關系列出關于k的方程，通過解方程來求k的值。

（3）根據直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍。