Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點E在第一象限內的此拋物線上，且OE⊥BC于D，求點E的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PA與PE之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了OA、OC的長，即可得出A、C兩點的坐標，然后將兩點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）不難得出B點坐標為（3，0），因此△OBC是等腰直角三角形，如果OE⊥BC，那么E點必為直線y=x與拋物線的交點，由此可求出E點的坐標．
（3）由于B點就是A點關于對稱軸的對稱點，因此只需求出直線BE與拋物線對稱軸的交點即可得出P點的坐標．那么PA、PE的差的最大值就是BE的長，可根據BE的坐標來求出這個最大值．
解答：解：（1）根據題意，得A（-2，0）、C（0，3）．
∵拋物線過A（-2，0）、C（0，3）兩點，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+3．

（2）由y=-x²+x+3可得B點坐標為（3，0）．
∴OB=OC=3．
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC．（4分）
∴點E的橫坐標等于縱坐標．
設E（x，y）．
解方程組
得，
∴點E的坐標為（2，2）．

（3）在拋物線的對稱軸上存在一點P，
使線段PA與PE之差的值最大．
當點P為拋物線的對稱軸和BE所在的直線y=-2x+6的交點時，
PA-PE=PB-PE=BE，其值最大．
BE==．（6分）
由
解得
∴點P的坐標為（，5）．
∴點P為（，5）時PA-PE的最大值為．
點評：考查二次函數解析式的確定、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．要注意的是（3）中確定P點的位置是解題的關鍵．