Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，點E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），G，F，H分別是BE，BC，CE的中點．
（1）四邊形EGFH是什么特殊四邊形？為什么？
（2）當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形？
（3）若（2）中菱形EGFH是正方形，試求等腰梯形的面積．

Answer 1

分析：（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形即可；
（2）證明四邊形EGFH是菱形即可；
（3）根據菱形EGFH是正方形即可出等腰梯形的高，從而求出梯形的面積；

解答：解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．
理由是：
∵F，H分別是BC，CE的中點，
∴GF∥EH，GF=EH，
四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）當點E運動到AD的中點時，四邊形EGFH是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵AE=DE，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G，H分別是BE，CE的中點，
∴EG=EH，
又由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，
∴四邊形EGFH是菱形．

（3）∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°
∵G，H分別是BE，CE的中點，
∴EB=EC．
∵F是BC的中點，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
又∵AD=a，BC=b，
∴等腰梯形的面積為

(a+b)

2

×

b

2

=

b(b+a)

4

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質及菱形的判定，難度不大，關鍵是掌握菱形的判定方法．