Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AD為直徑作⊙O，以C為圓心，CD長為半徑作⊙C，兩圓交于正方形內一點E，連CE并延長交AB于F．
（1）求證：CF與⊙O相切．
（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周長之比．

Answer 1

分析：（1）連接OE、DE，根據等腰三角形性質推出∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，推出∠OED+∠CED=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）過F作FM⊥DC于M，得出四邊形ADMF是矩形，推出AD=FM=4，AF=DM，求出AF=EF，設AF=EF=x，DM=x，在Rt△FMC中，由勾股定理得出方程4²+（4-x）²=（4+x）²，求出x的值，即可求出△BCF的周長和直角梯形ADCF的周長．

解答：（1）證明：
連接OE，DE，
∵OD=OE，CE=CD，
∴∠ODE=∠OED，∠CDE=∠CED，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=○ODE+∠CDE=90°，
∴∠OED+∠CED=90°，
即OE⊥CF，
∵OE為半徑，
∴CF與⊙O相切．

（2）
解：過F作FM⊥DC于M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB=CE=4，∠FAD=∠ADM=∠FMD=∠FMC=90°，
∴四邊形ADMF是矩形，
∴AD=FM=4，AF=DM
∵∠OAF=90°，OA為半徑，
∴AF切⊙O于A，CF切⊙O于E，
∴AF=EF，
設AF=EF=x，DM=x，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：FM²+MC²=CF²，
4²+（4-x）²=（4+x）²，
x=1，
∴AF=EF=DM=1，
∴CF=4+1=5，
∴△BCF的周長是BC+CF+BF=4+5+4-1=12，
直角梯形ADCF的周長是AD+DC+CF+AF=4+4+5+1=14，
∴△BCF和直角梯形ADCF的周長之比是12：14=6：7．

點評：本題考查了正方形性質，切線的性質和判定，矩形的性質和判定，勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．