Question

如圖，梯形OABC中，OA在x軸上，CB∥OA，∠OAB=90°，O為坐標原點，B（4，4），BC=2，動點Q從點O出發，以每秒1個單位的速度沿線段OA運動，到點A停止，過點Q作QP⊥x軸交折線O-C-B于點P，以PQ為一邊向右作正方形PQRS，設運動時間為t（秒），正方形PQRS與梯形OABC重疊面積為S（平方單位）
（1）求tan∠AOC；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）連接AC，AC的中點為M，請直接寫出在正方形PQRS變化過程中，t為何值時，△PMS為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CD⊥x軸于D，由B的坐標得出AB的長，再由C的坐標得出OD的長，根據四邊形ABCD為矩形，得到對邊相等，即CD=AB，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠AOC；
（2）根據Q的位置分三種情況考慮：當0時；當時；當2≤x≤4時；討論求得S與t的函數關系式；
（3）由（2）得出的S與t的關系式，利用一次函數及二次函數的性質求出三個函數的最大值，比較后即可求出S的最大值；
（4）分三種情況考慮：PS=MS；MP=MS；PS=PM，列出方程即可得到t的值．
解答：解：（1）過C作CD⊥x軸于D，則OD=2，CD=4，
則tan∠AOC=2；

（2）當運動到R與A重合時，此時OQ=t，AQ=PQ=4-t
則，
解得t=．
當0時，S=PQ²=（2OQ）²=（2t）²=4t²；
當時，S=PQ•AQ=2t•（4-t）=-2t²+8t；
當2≤x≤4時，S=4 AQ=4（4-t）=-4t+16；

（3）當0時，t=時，；
當時，t=2，t_最大=8；
當2≤x≤4時，t=2，t_最大=8；
綜上，t=2時S最大=8．

（4）當，，t₃=時，△PMS為等腰三角形．
點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，銳角三角函數定義，正方形的性質，以及一次函數與二次函數的性質，利用了數形結合及分類討論的數學思想，是一道較難的壓軸題．