Question

如圖，梯形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、B、C的坐標分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點P、Q同時從原點出發，分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位；點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．設P從出發起運動了t秒．
（1）如果點Q的速度為每秒2個單位，
①試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標（用含t的代數式表示，不要求寫出t的取值范圍）；
②求t為何值時，PQ∥OC？
（2）如果點P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，
①試用含t的代數式表示這時點Q所經過的路程和它的速度；
②試問：這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分？如有可能，求出相應的t的值和P、Q的坐標；如不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據相似三角形的性質即可求得點Q在OC上時的坐標；根據路程即可求得點Q在CB上時的橫坐標是（2t-5），縱坐標和點C的縱坐標一致，是3；
②顯然此時Q在CB上，由平行四邊形的知識可得，只需根據OP=CQ列方程求解；
（2）①設Q的速度為v，根據P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半，即可建立函數關系式；
②顯然Q應在CB上，根據面積和①中的結論得到關于t的方程，進行求解．

解答：解：（1）①點Q在OC上時Q（

8

5

t，

6

5

t）
點Q在CB上時Q（2t-5，3）．
②顯然Q在CB上，由平行四邊形的知識可得，只須OP=CQ
所以2t-5=t得t=5．

（2）①設Q的速度為v，先求梯形的周長為32，可得t+vt=16，
所以v=

16-t

t

，
點Q所經過的路程為（16-t）．
②能．
顯然Q應在CB上，梯形的面積為（10+14）×3÷2=36，t秒Q點運動的路程為2t，
則BQ=11-（2t-5）=16-2t，AP=14-t，
可得

[(14-t)+(16-2t)]•3

2

=18，
解得t=6，
則BQ=4，Q點坐標為（10，3）；
AP=8，P點坐標為（6，0）．

點評：能夠熟練根據相似三角形的性質、平行四邊形的性質和路程=速度×時間解決這類運動的問題．