Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，AD為BC邊上的高，點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s，點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，若點P、Q兩點同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為x（s）．

（l）求x為何值時，PQ⊥AC；x為何值時，PQ⊥AB？

（2）當O＜x＜2時，AD是否能平分△PQD的面積？若能，說出理由；

（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）當x=（Q在AC上）時，PQ⊥AC；x=時PQ⊥AB；（2）AD平分△PQD的面積；（3）當x=或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

試題分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

若使PQ⊥AB，則根據(jù)路程=速度×時間表示出BP，BQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

（3）根據(jù)（1）中求得的值即可分情況進行討論．

試題解析：（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，

當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4-x=2×2x，

∴x=；

當x=（Q在AC上）時，PQ⊥AC；

如圖：①

當PQ⊥AB時，BP=x，BQ=x，AC+AQ=2x；

∵AC=4，

∴AQ=2x-4，

∴2x-4+x=4，

∴x=，

故x=時PQ⊥AB；

（2）過點QN⊥BC于點N，

當0＜x＜2時，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面積；

（3）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

當x=或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．