Question

已知，如圖CD是⊙O的切線，C是切點，直徑AB的延長線與CD相交于D，連接OC、BC．
（1）寫出三個不同類型的結論；
（2）若BD=OB，求證：CA=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）CD是圓的切線可得出的有：OC⊥CD（切線的性質），CD²=DB•DA（切線長定理），△BCD∽△CAD（弦切角定理），AB是圓的直角可得出的有∠ACB=90°（圓周角定理）等．只要正確的都可以；
（2）由BD=OB可知，BC是直角三角形OCD底邊上的中線，因此BC=OB=OD．因此三角形OBC就是個等邊三角形，因此∠COB=60°，也就求出了∠D=30°，然后根據等邊對等角，且外角為60°可在三角形OAC中求出∠A=30°，然后根據等角對等邊即可得出CA=CD．
解答：（1）解：不同類型的結論有：
△BCD∽△CAD，
OC⊥CD，
△ABC是直角三角形，
OC²+CD²=OD²，
CD²=DB•DA，
∠ECD=∠OCA；

（2）證明：∵CD是圓O的切線，
∴OC⊥CD，
∵OB=BD，
∴BC是直角三角形OCD斜邊上的中線，
∴BD=OB=BC=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠D=90-60=30°；
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∴∠A=∠D，
即CA=AD．
點評：本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，等邊三角形的性質等知識點的綜合運用．