Question

如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，D是AB上一點，且D與A、B不重合，過 B、C、D三點的⊙O交AC于點E，連接DE
（1）證明：△ABC∽△AED；
（2）設AD=x，CE=y，求y與x的函數關系式和x的取值范圍；
（3）當方程x²-mx+9=0只有整數根，AD的長是該方程的根時，求m的值和四邊形BCED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為四邊形BDEC內接于⊙O，所以∠AED=∠ABC，再根據已知條件可證明△ADE∽△ACB．
（2）設AD=x，CE=y，作CF⊥AB的延長線于F，因為△ADE∽△ACB，可用x，y表示出BF，CF，AF的長，根據相似三角形的對應邊成比例，可求出函數式．
（3）設方程x²-mx+9=0的兩根為x₁和x₂且x₁和x₂是正整數，則x₁•x₁=9所以x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3又因為，AD＜AB，AB=5所以AD=1或AD=3，因此根據這兩種情況可求解．
解答：（1）證明：∵四邊形BDEC內接于⊙O
∴∠AED=∠ABC
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（3分）

（2）解：作CF⊥AB的延長線于F
已知∠ABC=120°，∠CBF=60°
在直角△BCF中，BF=BC•cos60°=，
CF=BC•sin60°=
∴AF=AB+BF=
在直角△ACF中，，（5分）
由△ADE∽△ACB知，即
∴（0＜x＜5）（7分）

（3）解：設方程x²-mx+9=0的兩根為x₁和x₂且x₁和x₂是正整數，則x₁•x₁=9
∴x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3
又∵AD＜AB，AB=5∴AD=1或AD=3
①當AD=1時，m=x₁+x₂=10（8分）
∵△ABC∽△AED∴
∴，（9分）
（10分）
作DG⊥AC于G
∵四邊形BCED內接于⊙O
∴∠DEG=180°-∠CBD=180°-120°=60°
∴在Rt△DEG中DG=DE•sin60°=（11分）
∴S_{四邊形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=
=（12分）
②當AD=3時，m=x₁+x₂=6，
與①同理，得
∴S_{四邊形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=（14分）
點評：本題考查了圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質定理，以及根與系數的關系，勾股定理等知識點．