Question

【題目】(1)問題發現：如圖1，在等邊中，點為邊上一動點，交于點，將繞點順時針旋轉得到，連接．則與的數量關系是_____，的度數為______．

(2)拓展探究：如圖2，在中，，，點為邊上一動點，交于點，當∠ADF=∠ACF=90°時，求的值．

(3)解決問題：如圖3，在中，，點為的延長線上一點，過點作交的延長線于點，直接寫出當時的值．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3).

【解析】

（1）由題意可證△DEC是等邊三角形，∠AED=120°，可得DE=DC，由旋轉性質可得∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF，由“SAS”可證△ADE≌△FDC，可得AE=CF，∠AED=∠DCF=120°，可得∠ACF=60°；
（2）通過證明△DAE∽△DFC，可得，通過證明△EDC∽△ABC，可得，即可求的值；

（3）通過證明△DAE∽△DFC，可得，通過證明△EDC∽△ABC，可得，即可求的值；

解：（1）∵DE∥AB
∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60°
∴△DEC是等邊三角形，∠AED=120°
∴DE=DC，
∵將AD繞點D順時針旋轉60°得到DF，
∴∠ADF=60°=∠EDC，AD=DF
∴∠ADE=∠FDC，且CD=DE，AD=DF
∴△ADE≌△FDC（SAS）
∴AE=CF，∠AED=∠DCF=120°
∴∠ACF=60°，
故答案為AE=CF，60°

（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°
∴tan∠BAC=

∵DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC=90°
∵∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB
∴∠AED=∠FCD，且∠ADE=∠FDC
∴△DAE∽△DFC

∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC

（3）∵AB∥DE
∴∠ABC=∠BDE=∠ADF，∠BAC=∠E
∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF，且∠ACF=∠ABC
∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△FDC

∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC

∵