Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上；OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，且OA＞OB，BC＝6；

（1）寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)　 　；

（2）若點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且S△AOE＝，

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②判斷△AOE與△AOD是否相似并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)M是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，在直線AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6，4）；（2）①點(diǎn)E坐標(biāo)或；②△AOE與△AOD相似，理由見(jiàn)解析；（3）存在，F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；

【解析】

（1）求出方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，OA＝4，OB＝3，可求點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）①設(shè)點(diǎn)E（x，0），由三角形面積公式可求解；

②由兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可證△AOE∽△DAO；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

解：（1）∵OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個(gè)根，

∴OA＝4，OB＝3，

∴點(diǎn)B（﹣3，0），點(diǎn)A（0，4），且AD∥BC，AD＝BC＝6，

∴點(diǎn)D（6，4）

故答案為：（6，4）；

（2）①設(shè)點(diǎn)E（x，0），

∵，

∴

∴

∴點(diǎn)E坐標(biāo)或

②△AOE與△AOD相似，

理由如下：在△AOE與△DAO中，，，

∴．且∠DAO＝∠AOE＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）存在，

∵OA＝4，OB＝3，BC＝6，

∴，OB＝OC＝3，且OA⊥BO，

∴AB＝AC＝5，且AO⊥BO，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時(shí)，AF＝AC＝5，

所以點(diǎn)F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時(shí)，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點(diǎn)F（3，8）．

③AC是對(duì)角線時(shí)，做AC垂直平分線L，AC解析式為，直線L過(guò)（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

L解析式為y＝x+，聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對(duì)角線時(shí)，過(guò)C做AB垂線，垂足為N，

根據(jù)等積法求，勾股定理得出，，做A關(guān)于N的對(duì)稱點(diǎn)即為F，，過(guò)F做y軸垂線，垂足為G，，

∴F（﹣，）．

綜上所述：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；．