Question

【題目】如圖，直線y＝﹣2x+6與x軸，y軸分別交A，B兩點，點A關于原點O的對稱點是點C，動點E從A出發以每秒1個單位的速度運動到點C，點D在線段OB上滿足tan∠DEO＝2，過E點作EF⊥AB于點F，點A關于點F的對稱點為點G，以DG為直徑作⊙M，設點E運動的時間為t秒；

（1）當點E在線段OA上運動，t＝　　時，△AEF與△EDO的相似比為1：；

（2）當⊙M與y軸相切時，求t的值；

（3）若直線EG與⊙M交于點N，是否存在t使NG＝，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝或5；（3）存在，t＝或或．

【解析】

（1）先求直線與坐標軸的交點坐標，再證△AEF∽△EDO∽△ABO，由△AEF與△EDO的相似比為1：，即可求得t的值；

（2）由⊙M與y軸相切可知：DG⊥y軸，分兩種情況：0≤t≤3或3＜t≤6，分別由D、G的縱坐標相等建立方程求解即可；

（3）分三種情況：0≤t≤或＜t≤3或3＜t≤6，分別建立方程求解即可．

解：（1）在y＝﹣2x+6中，令x＝0，得：y＝6，

令y＝0，得：﹣2x+6＝0，

解得：x＝3，

∴A（3，0），B（0，6），C（﹣3，0）

∴OA＝3，OB＝6，AB＝3，AE＝t，OE＝3﹣t，

∴tan∠BAO＝＝2

∵tan∠DEO＝2

∴∠BAO＝∠DEO

∵EF⊥AB

∴∠AFE＝∠DOE＝90°

∴△AEF∽△EDO∽△ABO

，即

∴AF＝t；

∵△AEF與△EDO的相似比為1：，

∴，即OE＝AF

∴3﹣t＝×t，

解得：t＝；

故答案為：t＝；

（2）∵⊙M與y軸相切

∴DG⊥y軸

當0≤t≤3時，

∵tan∠DEO＝2

∴

∴

∵，△AEF∽△ABO

∴

∴

∵點A、G關于點F對稱

∴

∴

將代入中，得，

解得，

∴G（3﹣t，t），D（0，6﹣2t），

∴t＝6﹣2t，解得：t＝；

當3＜t≤6時，同理得G（3﹣t，t），D（0，2t﹣6），

∴t＝2t﹣6，解得：t＝5，

綜上所述，當⊙M與y軸相切時，t＝或5；

（3）存在．

當0≤t≤時，G（3﹣t，t），D（0，6﹣2t），

∵點A關于點F的對稱點為點G，EF⊥AB

∴EG＝EA＝t

∵∠OEG＝∠OAB+∠EGA＝2∠OAB，∠OED＝∠OAB

∴∠GED＝∠OED＝∠OAB

∵DG為直徑

∴∠DNG＝∠DNE＝∠DOE＝90°，DE＝DE

∴△DEN≌△DEO（AAS）

∴EN＝OE＝3﹣t，NG＝EN﹣EG＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，

∴3﹣2t＝，

解得：t＝，

當＜t≤3時，NG＝EG﹣EN＝t﹣（3﹣t）＝2t﹣3

∴2t﹣3＝，

解得：t＝；

當3＜t≤6時，如圖2，連接DN，過G作GH⊥x軸于H，

∵DG是直徑，

∴∠DNG＝∠DNE＝90°，

∵∠DMN＝∠EMO

∴△DMN∽△EMO

∴∠MDN＝∠OEM

∵GH∥y軸

∴，即，

由（2）得，

∵軸，

∴ ，，

∴，

∴DM＝OD﹣OM＝2（t﹣3）﹣（t﹣3）＝（t﹣3）

∵tan∠OEM＝

∴EM＝OE＝（t﹣3），

∴sin∠OEM＝＝＝sin∠MDN＝

∴MN＝×（t﹣3）＝（t﹣3）

∴NG＝EG﹣EM﹣MN＝t﹣（t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣t，

∴，

解得：t＝；

綜上所述，t＝或或．