Question

在RT△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∠ABC，∠ACB的平分線交于P點，PE⊥BC于E點，求BE•CE的值．

Answer 1

解：過P作AC、AB的垂線，交AC于點F，交AB于點G．
∵∠ABC，∠ACB的平分線交于P點，PE⊥BC于E點，
∴PE=PF=PG，
∴P是三角形ABC的內心，即內切圓的圓心．PE就是內切圓的半徑．
設直角三角形ABC內切圓的半徑PE=r，則
r=2×=2×=1；
在四邊形PFAG中，PG⊥AB，AF⊥AB，
∴PG∥FA，∠A=90°，
∴四邊形PFAG是正方形，
∴AG=PG=AF=1，
∴BG=2，CF=3；
又∵∠ABC，∠ACB的平分線交于P點，
∴BG=BE=2，CE=CF=3，
∴BE•CE=2×3=6．
分析：過P作AC、AB、BC的垂線，根據角平分線的性質可得三條線段相等．所以P是三角形ABC的內心，即內切圓的圓心．PE就是內切圓的半徑．根據直角三角形內切圓的半徑=2S_△ABC÷L_△ABC可得，PE=1．
點評：本題考查了角平分線的性質．解答該題時，證明四邊形AFPG是正方形是求BE、CE的關鍵．