Question

14．如圖，過(guò)矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC邊于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，分別連接AE、CF．若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，則EF長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析 求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得CD=AB，然后求出CF，從而得解．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DAC}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°-30°=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴EF=CF，
∵AB=$\sqrt{3}$，
∴CD=AB=$\sqrt{3}$，
∵∠DCF=30°，
∴CF=$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴EF=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于判斷出△CEF是等邊三角形．