Question

17、對于任意的正整數n，所有形如n³+3n²+2n的數的最大公約數是

6

．

Answer 1

分析：把所給的等式利用因式分解寫成乘積的形式：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）．因為n、n+1、n+2是連續的三個正整數，所以其中必有一個是2的倍數、一個是3的倍數，可知n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數，所以最大公約數為6．

解答：解：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2），
∵n、n+1、n+2是連續的三個正整數，（2分）
∴其中必有一個是2的倍數、一個是3的倍數，（3分）
∴n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數，（4分）
又∵n³+3n²+2n的最小值是6，（5分）
（如果不說明6是最小值，則需要說明n、n+1、n+2中除了一個是2的倍數、一個是3的倍數，第三個不可能有公因數．否則從此步以下不給分）
∴最大公約數為6．（6分）

點評：主要考查了利用因式分解的方法解決實際問題．要先分解因式并根據其實際意義來求解．