Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于E，且DE=4，AD=18，∠C=60°．
（1）BC=______；
（2）若動點P從點D出發，速度為2個單位/秒，沿DA向點A運動，同時，動點Q從點B出發，速度為3個單位/秒，沿BC向點C運動，當一個動點到達端點時，另一個動點同時停止運動．設運動的時間為t秒．
①t=______秒時，四邊形PQED是矩形；
②t為何值時，線段PQ與梯形ABCD的邊構成平行四邊形？
③是否存在t值，使②中的平行四邊形是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函數值可求CE，進而可求CD，再利用等腰梯形的性質可求BC；
（2）①先畫圖，由于四邊形PQED是矩形，那么矩形的對邊相等，于是PD=QE，再根據路程=速度×時間，可得2t=26-4-3t，進而可求t；
②有兩種情況：A、是PQ與AB構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質，對邊相等，可得AP=BQ，再根據路程=速度×時間，可得3t=18-2t，進而可求t；
B、是PQ與CD構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質，對邊相等，可得PD=CQ，再根據路程=速度×時間，可得2t=26-3t，進而可求t；
③根據②中的兩種情況，分別求出BQ、DP的值，再與鄰邊AB、CD比較，從而可判斷不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形．
解答：解：（1）如右圖，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
又∵∠C=60°，
∴CE==4，∠EDC=30°，
∴CD=2CE=8，
∵四邊形ABD是等腰梯形，
∴BC=2CE+AD=8+18=26；

（2）①設運動時間為t時，四邊形PQED是矩形，如右圖，
∵四邊形PQED是矩形，
∴PD=QE，
∴2t=26-4-3t，
解得t=；
②有兩種情況：
A、設運動時間為t時，線段PQ與AB構成平行四邊形，如右圖，
∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AP=BQ，
∴3t=18-2t，
解得t=，
B、設運動時間為t時，線段PQ與CD構成平行四邊形，如右圖，
∵四邊形PQCD是平行四邊形，
∴PD=CQ，
∴2t=26-3t，
解得t=，
③不存在t值，使②中的平行四邊形是菱形，
A、當t=時，BQ=3t=，
而AB=CD=8，
所以BQ≠AB，
∴四邊形ABQP不是菱形，
B、當t=時，DP=2t=，
而AB=CD=8，
所以DP≠AB，
∴四邊形PQCD不是菱形．
故答案是26；．
點評：本題考查了平行四邊形、菱形的判定和性質，等腰梯形的性質，解題的關鍵是畫出相關的圖，根據圖找出等量關系，進而求出t．