Question

6、設a與b是正整數，且a+b=33，最小公倍數[a，b]=90，則最大公約數（a，b）=（　　）

A、1

B、3

C、11

D、9

Answer 1

分析：假設出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公約數，得出x的值是x=1或x=3，進一步利用數的整除性知識進行分析，得出
符合要求的答案．

解答：解：令（a，b）=x，則x是a，b，a+b及[a，b]的公約數，
故x是33和90的公約數，知x=1或x=3．
當x=1時，a與b互質，而a+b=33，當a不能被3整除，則b不能被3整除，
而[a，b]=90，說明a、b至少有一個能被3整除．
當a能被3整除，由a+b=33，則b也能被3整除，
故（a，b）≠1，即x≠1．
當x=3時，即有（a，b）=3，
∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=3²×5×6，
而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．
故選B．

點評：此題主要考查了數的整除性以及最大公約數和互質等知識，利用整除性得出a，b的關系是解決問題的關鍵．