Question

設(shè)a與b是正整數(shù)，且a+b=33，最小公倍數(shù)[a，b]=90，則最大公約數(shù)（a，b）=（ ）
A．1
B．3
C．11
D．9

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公約數(shù)，得出x的值是x=1或x=3，進(jìn)一步利用數(shù)的整除性知識(shí)進(jìn)行分析，得出符合要求的答案．
解答：解：令（a，b）=x，則x是a，b，a+b及[a，b]的公約數(shù)，
故x是33和90的公約數(shù)，知x=1或x=3．
當(dāng)x=1時(shí)，a與b互質(zhì)，而a+b=33，當(dāng)a不能被3整除，則b不能被3整除，
而[a，b]=90，說(shuō)明a、b至少有一個(gè)能被3整除．
當(dāng)a能被3整除，由a+b=33，則b也能被3整除，
故（a，b）≠1，即x≠1．
當(dāng)x=3時(shí)，即有（a，b）=3，
∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=3²×5×6，
而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)的整除性以及最大公約數(shù)和互質(zhì)等知識(shí)，利用整除性得出a，b的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．