Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在AB邊上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G，交BC于F，則△AEG的面積與四邊形BEGF的面積之比為（ ）
A．1：2
B．1：4
C．4：9
D．2：3

Answer 1

【答案】分析：首先證△AED≌△BFA，得S_△ABF=S_△DAE，兩者都減去△AEG的面積后可得S_△AGD=S_{四邊形BGFB}，那么只需求△AEC和△AGD的面積關系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易證得△AEG∽△DAG，根據它們的相似比（可由AE、BE的比例關系求得），即可求得面積比，由此得解．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S_△ABF=S_△DAE；
∴S_△ABF-S_△AEG=S_△DAE-S_△AEG，即S_△AGD=S_{四邊形BGFB}；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴=（）²=（）²=；
∴S_△AEG：S_{四邊形BGFB}=4：9；
故選C．
點評：此題主要考查了正方形的性質、全等三角形及相似三角形的判定和性質．能夠發現四邊形BGFB和△AGD的面積關系是解答此題的關鍵．