Question

（2009•包頭）如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等．
②根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度×時間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）根據題意結合圖形分析發現：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．
解答：解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3厘米，
∵AB=10厘米，點D為AB的中點，
∴BD=5厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，
∴PC=8-3=5厘米，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP．（SAS）
②∵v_P≠v_Q，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點P，點Q運動的時間秒，
∴厘米/秒；

（2）設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得x=3x+2×10，
解得．
∴點P共運動了×3=80厘米．
∵80=56+24=2×28+24，
∴點P、點Q在AB邊上相遇，
∴經過秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇．
點評：此題主要是運用了路程=速度×時間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關系．