Question

1．已知正方形ABCD中，AC、BD交于點O，$\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，連AE，將△ADE沿AD翻折，得△ADE′，點F是AE的中點，連CF、DF、E′F．若DE=2$\sqrt{2}$，則四邊形CDE′F的面積是17．

Answer 1

分析 先連接EC、EE′，設EE′交AD于N，根據正方形的性質以及折疊的性質，求出NE、ND的長，以及正方形ABCD的對角線長和邊長，再根據CF是△ACE的中線，求出△ACF的面積，根據E′F是△AE′E的中線，求出△AE′F的面積，最后根據四邊形CDE′F的面積=S_{梯形ACDE′}-S_△ACF-S_△AE′F進行計算，即可解決問題．

解答 解：連接EE′，交AD于N，連接CE，
在正方形ABCD中，∠EDN=45°，
由折疊得，AD垂直平分EE′，且∠EDN=∠E′DN=45°，DE=DE′，
∴△DEE′、△DEN、△DE′N均為等腰直角三角形，
∵DE=2$\sqrt{2}$，$\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\sqrt{2}$，DN=EN=E′N=2，DO=3$\sqrt{2}$，DE′=2$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AD=6，
∵EO⊥AC，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=6，
又∵點F是AE的中點，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$×S_△ACE=3，
∵AN⊥EE′，AN=AD-DN=6-2=4，
∴S_△AE′E=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
又∵點F是AE的中點，
∴S_△AE′F=$\frac{1}{2}$×S_△AE′E=4，
∵∠E′DO=∠AOD=90°，
∴DE′∥AC，
∴S_{梯形ACDE′}=$\frac{（DE′+AC）×DO}{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}+6\sqrt{2}）×3\sqrt{2}}{2}$=24，
∴四邊形CDE′F的面積=S_{梯形ACDE′}-S_△ACF-S_△AE′F=24-3-4=17．
故答案為：17

點評 本題以折疊問題為背景，主要考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質以及中線的性質的綜合運用，難度較大．折疊是一種軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊相等，對應角相等．解題的關鍵是添加輔助線，運用割補法求四邊形的面積．